Doğal sayılar,N=(o,1,2,3,4,5,6,7…) şeklinde sıralanan tam sayılardır. Bazı kaynaklarda “0″ doğal sayı olarak alınmaz. Matematikte hala sıfırın bir doğal sayı alınıp alınmayacağı tartışma konusudur, ancak eğer cebirsel inşâlar yapılmak isteniyorsa “0″ sayısının doğal sayı olarak alınması avantaj sağlayabilir. Matematiğin diğer dallarında da problem hangi durumda daha kolay ifade edilebilecekse doğal sayılar kümesi de o şekilde alınır.
DOĞAL SAYILAR
DOĞAL SAYILAR KÜMESİ VE ONLUK SAYMA SİSTEMİ:
Denk Kümeler ve Doğal Sayılar:
Kümelerin eleman sayısını gösteren 0, 1, 2, 3 .. gibi sayıların her birine doğal sayı denir, doğal sayılar sıfırdan başlar , sonsuza kadar devam eder. Doğal sayıların oluşturduğu kümeye Doğal Sayılar Kümesi denir, N ile gösterilir.
N = { 0, 1, 2, 3, 4, …. }
Sayma Sayıları:
Suluova da kaç tane ilköğretim okulu vardır? Sorusuna karşılık verilen "bir, iki, üç … " sayılarına sayma sayıları denir. Sayma sayılarının oluşturduğu kümeye sayma sayıları kümesi denir. S ile gösterilir.
S = { 1, 2, 3, 4, … }
Ayrıca 0Ï S olup
S Ì N veya N É S
dir
Doğal sayıların sayı doğrusu üzerinde gösterilmesi
Bir doğru üzerinde belirli bir nokta (0) sıfır noktası olmak üzere, sıfır noktasının sağ tarafını eşit aralıklara bölelim. Bu her bir noktayı sırayla 0,1,2,3.. ile eşleyelim. Doğal sayıların üzerinde gösterildiği bu doğruya sayı doğrusu denir.
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Sayı doğrusu üzerindeki bir doğal sayı; solundaki tüm doğal sayılardan küçüktür.
örneğin "7 büyüktür 6" 7>6 veya "6 küçüktür 7" 6<7 ile gösterilir.
Doğal Sayılarda Sıralama:
Her han gi sayıdaki doğal sayıdan sayı doğrusundaki yerleri göz önüne alınarak en solda bulunan doğal sayı en küçüğüdür.
Bir başka deyişle sayı doğrusu üzerindeki dizilişleri küçükten büyüğe doğru dizilişle aynıdır.
15 17 21
15 < 17 < 21
veya
21 > 17 > 15
dir
İki Doğal Sayı Arasındaki Doğal Sayıların Sayısını Bulma:
İki doğal sayı arasında kaç tane doğal sayı olduğunu bu sayıların farkından 1 çıkararak buluruz.
Örnek:
81 ile 52 arasında kaç tane doğal sayı vardır?
81 - 52 = 29
29 - 1 = 28
28 tane doğal sayı vardır.
ARDIŞIK DOĞAL SAYILAR
1, 2, 3, 4, …. gibi birbirini takip eden sayılar ardışık doğal sayılardır. Ardışık iki doğal sayı arasındaki fark 1'dir. Örneğin, 38 doğal sayısının ardışığı 38 + 1 = 39 doğal sayısıdır.
NOT : Birbini takip eden 1, 3, 5, … gibi sayılar ardışık tek doğal sayılardır. Birbini takip eden 0, 2, 4, … gibi sayılar çift doğal sayılardır. Ardışık tek doğal sayılar ve ardışık çift doğal sayılar arasındaki fark 2'dir.
SAYI DOĞRUSU VE ARADA OLMA
Doğal sayılar arasındaki ilişkileri daha iyi görebilmek için onları bir doğru üzerinde gösteririz. Bu doğruya sayı doğrusu denir.
1 ile 6 doğal sayıları arasında 6 - 1 = 5 tane doğal sayı vardır.
2 ile 5 doğal sayıları arasında 5 - 1 = 3 tane doğal sayı vardır.
ONLUK SAYMA SİSTEMİ
Onluk sayma sisteminde { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } kümesinin elemanları bulunur.
Basamak : Onluk sayma sistemindeki sayılarda, rakamların yazıldığı yere basamak denir. Basamaklar, sağdan sola doğru 10 ' un kuvvetlarine göre sıralanırlar.
Bölük : Sayıların kolay okunabilmesi için, basamaklar sağdan sola doğru, üçer üçer gruplara ayrılar. Bu grupların her birine bölük denir. Bölükler sağdan sola doğru; birler bölüğü, binler bölüğü, milyonlar bölüğü … diye adlandırılır.
Basamak Değeri : Rakamların sayı içinde bulunduğu basamağa göre aldığı değerlere rakamların basamak değeri denir.
Sayı Değeri : Rakamların sayı değeri içindeki değeri göz önüne alınmadan tek başına düşünülen değerine, rakamın sayı değeri denir. Örneğin 3677 saysının;
Basamak değeri: 3 . 1000 = 3000
6 . 100 = 600
7 . 10 = 70
7 . 1 = 7
Sayı değeri : 3
6
7
http://www.youtube.com/watch?v=exhyV67iEME
SORULAR
Soru 1: 35781651 sayısında binler bölüğünde yer alan rakamların toplamı kaçtır?
Soru 2: 81-78-73-66-?-? örüntü nasıl devam eder?
Soru 3: 6, 3, 5, 8, 1 sayılarını kullanarak 5 basamaklı en büyük ve en küçük çift sayıları oluşturun ve aralarındaki farkı bulun.
Soru 4: a<7 ifadesinde a yerine yazılabilecek doğal sayıların toplamı kaçtır?
Soru 5: 19+20+21+22+23+24+25+26 sayılarının toplamını kısa yoldan yapınız.
Soru 6: 7614 sayısında 7 sayısının basamak değeriyle sayı değeri arasındaki fark kaçtır?
Soru 7: Pili zayıflamış bir saat, 3 saatte 2 dakika geri kalıyor. Buna göre bu saat 1 günde ne kadar geri kalır?
Soru 8: Ali, kardeşi ve babasının yaşları toplamı 84 dür. Ali’nin yaşı kardeşinin yaşının iki katı, babasının yaşının da yarısı olduğuna göre Ali kaç yaşındadır?
CEVAPLAR
Cevap 1: 35.781.651 sayısının binler bölüğünde 7 8 1 sayıları var. Bu sayıların toplamı; 7+8+1= 16
Cevap 2: 81-78-73-66-?-? örüntüsünü incelediğimizde ilk sayıdan 3 çıkartılıp 78 bulunduğunu, 78 den 5 çıkartılıp 73 bulunduğunu, 73 den de 7 çıkartılıp 66 bulunduğunu görüyoruz. Bu azalış -3, -5, -7, -9, -11 ,-13.. şeklinde gidecektir. O zaman 66 dan 9 çıkartarak 57 yi, 57 den de 11 çıkartıp 46 yı buluruz. Çözümümüz ; 81-78-73-66-57-46 olur.
Cevap 3: 6, 3, 5, 8, 1 sayılarını kullanıp çift sayı yazmak için 8 veya 6 yı birler basamağına koymalıyız. En büyük sayıyı bulmak için sayıların en büyüğü olan 8 i başa almak gerekir. Buna göre en büyük çift sayı 85316 dır. En küçük çift sayıyı bulmak için de sayıların en küçüğü olan 1 i başa alırız; 13568. Bu iki sayının arasındaki fark : 85316-13568=71748
Cevap 4: a<7 ( a küçüktür 7) ise a ; 0,1,2,3,4,5,6 olabilir. Bu sayıların toplamı 21 dir.
Cevap 5: 19+20+21+22+23+24+25+26 gibi belli bir artışı olan sayıları ( burada hep birer birer artmış) kısa yoldan toplamak için ilk dört sayıyı son dört sayının altına tersten yazarak bulabiliriz. Şöyle ki ;
23+24+25+26
22+21+20+19
+
45+45+45+45= 180
Cevap 6: 7614 sayısında 7 nin basamak değeri 7000 sayı değeri ise 7 dir. Aralarındaki fark ise 7000-7=6993 dür.
Cevap 7: Böyle soruların birçok çözüm yöntemi vardır. Örneğin;
Bu saat 3 saatte 2 dakika geri kalıyor. Yani 3 saatte 120 saniye geri kalıyor. O zaman 1 saatte ne kadar geç kaldığını bulalım.
3 saatte 120 saniye geri kalıyorsa
1 saatte 40 saniye geri kalır.
1 günde ne kadar geri kaldığını bulmak için;
1 saatte 40 saniye geç kalıyorsa 24 saatte 24x40 saniye geç kalır.
Yani 960 saniye geri kalır. 960 saniyeyi dakikaya çevirmek için;
960 ÷60= 16 dakika.. 1 günde 16 dakika geç kalır.
Cevap 8: Yaş problemlerinde her zaman en küçüğe simge vererek başlamak daha yararlı olur. Buna göre ; Alinin kardeşine k dersek, Ali 2k olur, Babası da Alinin iki katı yaşında olduğu için 4k olur. Üçünün yaşları toplamı 84 müş.
4k+2k+k=84
7k=84 ise k = 12dir. Ali 2k yaşında olduğu için 12x2=24 yaşında
DOĞAL SAYILARLA İLGİLİ PROBLEMLER ve ÇÖZÜMLERİ
1. Bir satıcı Temmuz ayında 860 kalem, Ağustos ayında, Temmuz ayında sattığı kalem sayısının yarısı ve Eylül ayında ise Temmuz ve Ağustos aylarında sattığı toplam kalem sayısı kadar kalem satıyor. Buna göre bu satıcı üç ayda kaç kalem satmıştır?
2. Ali, Pazartesi 23 sayfa, Salı günü 43 sayfa ve Çarşamba günü 19 sayfa kitap okuyor. Buna göre, Ali günlük okuduğu sayfa sayısı ortalamasını 35 e çıkarması için Perşembe günü kaç sayfa kitap okumalıdır?
3. 23+A< 95 ise A en fazla kaçtır?
4. Bir sınıfta 57 kişi vardır. Bu sınıfta erkek sayısı kız sayısının iki katı olduğuna göre , erkek sayısı kaçtır?
5. İki şehrin arası 960 kilometredir. Bir araba bu yolu 12 saatte alıyor. Buna göre bu araba hızını ne kadar arttırırsa dönüş yolunu 10 saatte bitirir?
6. Bir kümeste 96 hayvan vardır. Kümesteki tavuk sayısı tavşan sayısının 3 katı olduğuna göre kümesteki ayak sayısı kaçtır?
7. Bir kırtasiyeci 7 tanesini 28 liraya aldığı kalemlerin düzinesini 72 liraya satıyor. Buna göre 70 kalem satan satıcı kaç lira kar eder?
8. 2 kardeşin yaşları toplamı 38 dir. 4 yıl önce büyük olanın yaşı küçük olanın yaşının 2 katı olduğuna göre ,büyük kardeşin şimdiki yaşı kaçtır?
9. Üç basamaklı en küçük çift sayı, iki basamaklı rakamları farklı en büyük tek sayıdan kaç fazladır?
10. Üç sayının ortalaması 55 dir. Bu sayıların en küçüğü iki basamaklı en küçük tek sayı olduğuna göre diğer iki sayının ortalaması kaçtır?
Başarılar
Soruları çözmeye çalışmadan cevaplara bakarsanız, kendinizi geliştiremeyeceğinizi unutmayın
ÇÖZÜMLER
1. Temmuz ayı : 860
Ağustos ayı: 860/2=430
Eylül ayı : 860+430=1290
Buna göre 3 ayda sattığı kalem sayısı ; 860+430+1290=2580
2. İlk üç günde okuduğu sayfa sayısı ; 23+43+19=85
4 günün ortalamasının 35 olması isteniyor. O zaman 4 günde okunacak sayfa sayısı 35x4=140 olmalı. İlk 3 gün ne kadar okuduğunu biliyoruz. 140 dan ilk 3 günün toplamını çıkartarak Perşembe günü okuması gereken sayfa sayısını bulabiliriz.
140 – 85= 55
3. 23+A< 95 ifadesinde A nın en büyük değeri alması için 95 den küçük olan en büyük sayı olan 94ü seçeriz. 23+A=94 ise A =71 dir.
4. Sınıftaki erkek sayısı kız sayısının iki katıymış, Buna göre kız sayısına K dersek erkek sayısına 2K deriz.
2K+K=57 ise 3K=57 , K= 19. Bize erkek sayısı soruluyor ( 2K) 2x19=38
5. Yol : 960 km
Zaman: 12 saat
Buradan saatteki hızını buluruz. 960/12= 80.
Bu araba saatte 80 km yol gidiyormuş.
Dönüş yolunun 10 saatte bitmesi isteniyor.
Yolumuz 960 km idi. 10 saatte 960 km yol gidilecekse saatteki hız 96 km olmalı.
Demek ki saatteki hızı 16 km arttırmak gerekiyormuş. ( 96-80=16)
6. Kümeste 96 hayvan var ve tavuk sayısı tavşan sayısının 3 katı.
Tavşan sayısına K dersek, tavuk sayısı 3K dır.
K+3K=96 ise
4K=96
K=24
K tavşan sayısıydı. Tavşan sayısı 24 ise tavuk sayısı 72 dir.
Bunların ayak sayılarının toplamı ; Tavşan sayısı x 4 + Tavuk sayısı x 2 dir.
Yani 24x4 + 72x2= 240 ayak
7. 7 tanesini 28 liraya alıyorsa tanesini 4 liraya alır ( 28/7=4)
Düzinesini (12 tane) 72 liraya satıyorsa tanesini 6 liraya satar. (72/12=6)
Demek ki bir kalemden 2 lira kazanıyor. Bu kırtasiyeci 70 tane kalem satıyor.
O zaman kârı 70 x 2 = 140 lira
8. İki kardeşin şimdiki yaşları toplamı 38 ise 4 yıl önceki yaşları toplamı 30 dur ( Çünkü ikisi de 4 er yaş daha küçük olacak) . 4 sene önce büyük olan küçük olanın 2 katı yaşındaymış. Küçüğüne K dersek büyüğüne 2K deriz.
K + 2K = 30
3K = 30
K= 10
Büyük kardeşe 2K demiştik; 10 x 2 = 20
20, 4 sene önceki yaşıydı, Şimdiki yaşı 20+4=24
9. Üç basamaklı en küçük çift sayı 100 dür.
İki basamaklı rakamları birbirinden farklı en büyük tek sayı ise 97 dir.
100 - 97= 3
10. Üç sayının ortalaması 55 ise toplamları 55 x 3 = 165 dir.
Bunların en küçüğü iki basamaklı en küçük tek sayıymış . Yani bu sayı 11 miş.
165 den 11 i çıkartarak diğer iki sayının toplamını bulabiliriz
165-11= 154
154 ü de 2 ye bölerek bu iki sayının ortalamasını buluruz.
154/2= 77